Si nous considérons l`ensemble X d`être un ensemble fini, alors ce serait un bon exemple de la vie réelle d`un $ sigma $-algèbre, pour un noob à comprendre. Sigma _ {t. 1}, dots, t. n}}. Cette algèbre σ contient plus d`ensembles que l`algèbre σ de Borel sur RN et est préférée dans la théorie de l`intégration, car elle donne un espace de mesure complet. Hiérarchie de Borel). Pour cela, la fermeture sous les unions dénombrables et les intersections est primordiale. Par exemple, l`algèbre σ de Lebesgue est séparable (puisque chaque ensemble mesurable de Lebesgue est équivalent à un ensemble de Borel) mais pas généré de manière prévisible (puisque sa cardinalité est plus élevée que le continuum). La mesure de Lebesgue dans la ligne réelle est un σ-Ring, mais pas une algèbre σ puisque la ligne réelle a une mesure infinie et ne peut donc pas être obtenue par leur Union dénombrable.

Par exemple, l`axiome de choix implique que lorsque la taille à l`étude est la notion ordinaire de longueur pour les sous-ensembles de la ligne réelle, alors il existe des ensembles pour lesquels aucune taille n`existe, par exemple, les ensembles Vitali. Ensuite, il existe une plus petite algèbre σ unique qui contient chaque ensemble en F (même si F peut ou ne peut pas être lui-même une algèbre σ). Le théorème π-λ de Dynkin dit que si P est un système π et que D est un système Dynkin qui contient P, l`algèbre σ σ (P) générée par P est contenue dans D. Ainsi (x, Σ) peut être notée comme (X, F) {displaystyle scriptstyle (X, , {mathcal {F}})} ou (X, F) {displaystyle scriptstyle (X, , {mathfrak {F}})}. Pour chacun de ces deux exemples, la famille génératrice est un système π. Cette algèbre σ est une sous-algèbre de l`algèbre σ de Borel déterminée par la topologie du produit R T {displaystyle mathbb {R} ^ {mathbb {T}}} restreinte à X. le théorème π-λ de Dynkin implique que tous les ensembles de σ (P) jouissent de la propriété, évitant ainsi la tâche de le vérifier pour un ensemble arbitraire en σ (P). Une paire ordonnée (X, Σ), où X est un ensemble et Σ est une algèbre σ sur X, est appelée un espace mesurable. Si est une collection de sous-ensembles de, alors nous pouvons toujours trouver une-algèbre contenant, à savoir l`ensemble de puissance de. Pour cette raison, on considère plutôt une plus petite collection de sous-ensembles privilégiés de X.

Observez que {B 1 × B 2: B 1 (2), B 2 (p) Σ 2) {displaystyle {B_{1}times _ {2}: bte {1} in Sigma} {1}, [3] _ {2} in Sigma {2} }} est un système π. Pour un exemple non trivial qui n`est pas un ensemble de Borel, voir l`ensemble Vitali ou non-Borel ensembles. De nombreuses utilisations de la mesure, telles que le concept de probabilité d`une convergence presque sûre, impliquent des limites de séquences d`ensembles. Notez que toute algèbre σ générée par une collection comptable de sets est séparable, mais l`inverse n`a pas besoin d`être enfoncé. Ils sont fermés sous des opérations auxquelles on s`attendrait pour des ensembles mesurables; c`est-à-dire, le complément d`un ensemble mesurable est un ensemble mesurable et l`Union dénombrable d`ensembles mesurables est un ensemble mesurable.